Category: երկրաչափություն 9

S_կ=π*r*l

S_հ=π*r²

S_լ=S_կ+S_հ=π*r*(l+r)

Գունդ

S=4*π*r²

Վարժ․ 421

ա) r=6 սմ; l=9 սմ; S_կ=? սմ²; S_լ=? սմ²

S_կ=π*r*l=6π*9=54π սմ²

S_լ=π*r*(l+r)=π*6*(9+6)=6π*15=90π սմ²

Պատ՝․ 54π սմ²; 90π սմ²

բ) l=? սմ; S_լ=? սմ²; r=4 սմ; S_կ=24π սմ²

S_կ=π*r*l => l=S_կ/π*r => 24/4π=6 սմ

S_լ=π*r*(l+r)=4π*(4+6)=40π սմ²

Պատ՝․ 6 սմ; 40π սմ²

գ) l=? սմ; S_կ=? սմ²; r=5 սմ; S_լ=60 սմ²

S_լ=π*r*(l+r) => π*5*(l+5)=60 սմ²

5π*(l+5)=60 սմ²

l=60/5π — 7=7 սմ

S_կ=π*r*l=5π*7=35π սմ²

Պատ՝․ 7 սմ; 35π սմ²

դ) S_կ=6π դմ²; S_լ=10π դմ²; r=? դմ; l=? դմ

S_կ=π*r*l=2π*3=6π դմ²

S_լ=π*r*(l+r)=2π*5=10π դմ² => r=2 դմ; l=3 դմ

Պատ՝․ 2 դմ; 3 դմ

Վարժ․ 422

r=5 սմ; a=12 սմ; S_կ=? սմ²; S_լ=? սմ²

l²=5²+12² => l=√169=13 սմ

S_կ=π*r*l=5*π*13=65π սմ²

S_լ=S_կ+S_հ=π*r*(l+r)=π*5*(13+5)=5π*18=90π սմ²

Պատ՝․ 65π սմ²; 90π սմ²

Վարժ․ 427

ա) R=11 սմ; S=? սմ²

S=4*π*r²=4*π*121=484π սմ²

բ) S=25π սմ²; R=? սմ

S=4*π*r² => R=√25π սմ²/4π սմ=√6.25=2.5 սմ

գ) S=16π սմ²; R=? սմ; S=? սմ

S=4*π*r² => R=√16π սմ²/4π սմ=√4=2 սմ

Վարժ․ 428

r=16/2=8 սմ

S=4*π*r²=4*π*8²=4*π*64=256π սմ²

Պատ՝․ 256π սմ²

S_կ=2πrh

S_h=πr²

S_լ=S_կ+2S_հ=2πr*(h+r)

Վարժ․ 414

ա) S_կ=? սմ²

S_լ=? սմ²

r=7 սմ

h=8 սմ

S_կ=2πrh=2π*56=112π սմ²

S_h=πr²=49π սմ²

S_լ=S_կ+2S_հ=2πr*(h+r)=112π+98π=210π սմ²

բ) r=10 սմ

S_կ=120π սմ²

h=? սմ

S_լ=? սմ²

120π սմ²=2πrh=> h=120π/2π*10=6 սմ

S_h=πr²=36 π սմ²

S_լ=S_կ+2S_հ=2πr*(h+r)=320π սմ²

գ) r=4 սմ

S_լ=64π սմ²

h=? սմ

S_կ=? սմ²

S_h=πr²=16π սմ²

S_կ=2πrh

S_կ=S_լ-S_հ=64π սմ² — 16π սմ²=48π սմ²

S_կ=2πrh=2*π*4*h=48π=> h=6 սմ

դ) r=? սմ, h=? սմ

S_կ=36π սմ²

S_լ=54π սմ²

2S_հ=54π սմ² — 36π սմ²=18π սմ²

2S_հ=πr²=18π սմ²=> 9 սմ²=r²=> r=3 սմ

S_կ=2πrh=2π*3*h=36π սմ² => h=6 սմ

Վարժ․ 415

A=12 սմ, B=14 սմ

S_կ=? սմ²

S_լ=? սմ²

S_կ=2πrh=2*12*14*π=336π սմ²

S_լ=S_կ+2S_հ=2πr*(h+r)=2π*12*26=624π սմ²

Պատ՝․ S_կ=336π սմ²; S_լ=624π սմ²

Վարժ․ 416

ա) A₁=2 սմ, B₁=4 սմ, r₁=2 սմ, h₁=4 սմ

A₂=2 սմ, B₁=4 սմ, r₂=4 սմ, h₂=2 սմ

S_կ1=2πrh=2π*2*4=16π սմ²

S_կ1=2πrh=2π*4*2=16π սմ²

Պատ՝․ հավասար են

բ) A₁=2 սմ, B₁=4 սմ, r₁=2 սմ, h₁=4 սմ

A₂=2 սմ, B₁=4 սմ, r₂=4 սմ, h₂=2 սմ

S_լ1=2πr*(h+r)=2π*2*(2+4)=4π*6=24π սմ²

S_լ2=2πr*(h+r)=2π*4*(2+4)=8π*6=48π սմ²

S_լ2 — S_լ1=48π սմ² — 24π սմ² = 24π սմ²

Պատ՝․ S_լ2-ը մեծ է 24π սմ²-ով։

Վարժ․ 382

ա) l=2πR=2*π*10=20π (մ)բ) l=2πR=2*π*15=30π (մ)գ) l=2πR=2*π*35=70π (մ)Վարժ․ 383

ա) R=l/2π=100/6.28=15.9 (սմ)բ) R=l/2π=25/6.28=3.98 (սմ)գ) R=l/2π=47.5/6.28=7.56 (սմ)Վարժ․ 384

P=24 սմ=2R*sin 1800/6=2R*0.5d=4 սմ (P/6=24/6=4)2R*0.5=4 սմR=4l=2πR=2*3.14*4=8π սմՊատ՝․8π սմՎարժ․ 385

Վարժ․ 388

R=l/2πl=x+107x=2R2R/2=2R+107/6.28=> 12.56R=4R+428=> 2R=428/8.56=50 սմ=> 2R(տրամագիծ)=50, R=50/2=25 սմՊատ՝․ 25 սմ

AB=25 սմ

DE=r=5 սմ

P(ABC)=? սմ

r=a+b-c/2

{ a+b-25=10 → { a=35-b

{ a²+b²=625 → { (35-b)²+b²-625=0

(35-b)²+b²-625=0 → 1225-70b+b²+b²-625=0 →

2b²-70b+600=0 → b²-35b+300=0 → 

b₁=15 սմ; b₂=20 սմ →

a₁=35-15=20 սմ

a₂=35-20=15 սմ

P=a+b+c=25+15+20=60 սմ

Պատ՝․ 60 սմ

AB=25 սմ

DE=r=5 սմ

S(ABC)=? սմ²

S=ab/2=150 սմ²

Պատ՝․ 150 սմ²

r=5²=25 սմ

1) PCEF ուղղանկյան անկյունագիծը 10 սմ է, իսկ կողմերից մեկը՝ 8 սմ։ Գտնել PCEF ուղղանկյան մակերեսը և ΔFCE-ի մակերեսը։

PE=10 սմ

EF=8 սմ

S_PCEF=? սմ²

S_FCE=? սմ²

CP=EF; CE=PF

∠P=∠C=∠E=∠F=90°

Քանի որ CF-ը անկյունագիծ է, ուստի →

ΔCFP=ΔCEF

Դիտարկենք ΔCEF-ը

∠EFP=90° → ∠EFC=45°

∠ECP=90° → ∠ECF=45°

Պյութագորսի թեորեմի համաձայն՝

CF²=EF²+CE² → CE²=100-64=36

CE=6 սմ

S_PCEF=6*8=48 սմ²

S_FCE=48/2=24 սմ²

Պատ՝․ 48 սմ², 24 սմ²

2) Շեղանկյան անկյունագծերը 24 սմ և 10 սմ են։ Գտնել շեղանկյան կողմը, մակերեսը, բարձրությունը։

AC=10 սմ

BD=24 սմ

AB=BC=CD=AD=? սմ

S_ABCD=? սմ²

h=? սմ

S=1/2*d₁*d₂=24*10/2=120 սմ²

BO=OD=24/2=12 սմ

AO=OC=10/2=5 սմ

AB²=BO²+AO² → 144+25=169 սմ

AB=13 սմ

AB=BC=CD=AD=13 սմ

Քանի որ S=ah → h=S/a=120/13=9.23 սմ

Պատ՝․ 13 սմ, 120 սմ², 9.23 սմ

3) MPKT զուգահեռագծի MT կողմի վրա նշված է E կետն այնպես, որ ∠PEM=90°, ∠EPT=45°, ME=4 սմ, ET=7 սմ։ Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը։

∠PEM=90°

∠EPT=45°

ME=4 սմ

ET=7 սմ

S_MPKT=? սմ²

Քանի որ ∠PET=90°, ∠EPT=45° → ∠PTE=45° → PE=ET=7 սմ

MT=4+7=11 սմ

S_MPKT=MT*PE=11*7=77 սմ²

Պատ՝․ 77 սմ²

4) ABCD ուղղանկյուն սեղանի AC անկյունագիծն ուղղահայաց է CD սրունքին և AD հիմքի հետ կազմում է 60°-ի անկյուն։ Գտնել սեղանի մակերեսը, եթե AD=24 սմ։

∠DCA=90°

∠CAD=60°

AD=24 սմ

S_ABCD=? սմ²

Քանի որ ∠DCA=90°, ∠CAD=60° → ∠CDA=30°

30° անկյան դիմացի կողմը երկու անգամ փոքր է ներքնաձիգից, ուստի AC=AD/2=24/2=12 սմ

Քանի որ ∠CBA=90°, ∠CAD=60° → ∠CAB=90°-60°=30° → BC=AC/2=12/2=6 սմ

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝

AC²=BC²+AB² → AB²=144-36=108

AB=√108=6√3 սմ

S_ABCD=BC+AD/2*h → 3+12*6√3=15*6√3=90√3 սմ²

Պատ՝․ 90√3 սմ²

Սինուսների թեորեմը պնդում է, որ եռանկյանԱ կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝ a/sin A=b/sin B=c/sin C

Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

Թեորեմ։ Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին:

S=1/2*a*b*sin C → S=1/2*b*c*sin A →

1/2*a*b*sin C=1/2*b*c*sin A →

a/sin A=c/sin C → b/sin B

a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R

sin A=h/b & B=h/a → h=b*sin A → a*sin B

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 317, 318

Վարժ․ 317

ա) AB=6√8 սմ

AC=4 սմ

∠A=60°

S=1/2*b*c*sin A → S=1/2*4*6√8*√3/2

S=2*3*2√2√3=12√6 սմ²

S=12√6 սմ²

___________

բ) BC=3 սմ

AB=18√2 սմ

∠B=45°

S=1/2*a*c*sin B → S=1/2*3*18√2*√2/2

S=3/2*18√2*√2/2=3√2*18√2/4=54*2/4=27 սմ²

S=27 սմ²

___________

գ) AC=14 սմ

CB=7 սմ

∠C=48°

S=1/2*a*b*sin C=49*0.74= ≈36 սմ²

S= ≈36 սմ²

Վարժ․ 318

S=60 սմ²

AC=15 սմ

AB=x սմ (?)

∠A=30° → sin 30°=1/2

S=1/2*c*b*sin A → c=60/0.5*0.5*15=16 սմ

AB=c=16 սմ

Վարժ․ 319

ա) S=1/2*a*b*sin C

b=h_c/b=sin α

c=h_b/c=sin α

S=1/2*b*c*sin α

S=1/2*h_c/sin α*h_b/sin α=1/2*h_c/sin α*h_b=h_bh_c/2 sin α

բ) sin α=BH/AB

AB=h/ sin α (h=BH)

∠C=180⁰-(α+β)

AC/sin β=AB/sin 180⁰-(α+β)

AC/sin β=AB/sin α+β

AC=sin β*h/sin α+sin α+β

S=h²*sin β/2sin α*sin α+β

S=h²*sin β/2 sin α*sin (α+β)

Վարժ․ 320

Լուծում՝ գծագիր

AB(c)=BC(a)=2 սմ

∠A=α=15°

S=? սմ²

∠B=180°-2*15°=180°-30°=150°

sin 150°=1/2 (0.5)

S=1/2*b*c*sin B=2*2*0.5/2=1 սմ²

Պատ՝․ 1 սմ²

sin(90°+α)=cos α

sin(90°−α)=cos αcos(90°+α)= -sin αcos(90°−α)=sin αsin(180°−α)=sin αcos(180°−α)= −cos αtg(90°+α)= -ctg αtg(90°-α)=ctg α

sin 30°=1/2sin 60°=√3/2cos 30°=√3/2cos 60°=1/2tg 30°=1/2 : √3/2=1/√3=√3/3tg 60°=√3/2 : 1/2=√3ctg 30°=√3/2 : 1/2=√3ctg 60°=1/2 : √3/2=√3/3

sin 45°=√2/2cos 45°=√2/2tg 45°=√2/2 : √2/2=1ctg 45°=√2/2 : √2/2=1Վարժ․ 303

1) 120°sin 120°=sin(90°+α)=cos 30°cos 30°=√3/2cos(90°+α)= -sin α= -sin 30°-sin 30°= -1/2tg 120°=√3/2 : (-1/2)= -√32) 135°sin 135°=sin(90°+α)=cos 45°cos 45°=√2/2cos(90°+α)= -sin α= -sin 45°-sin 45°= -√2/2tg 135°=√2/2 : (-√2/2)= -13) 150°sin 150°=sin(90°+α)=cos 60°cos 60°=1/2cos(90°+α)= -sin α= -sin 60°-sin 60°= -√3/2tg 150°=1/2 : (-√3/2)= -√3/3

Վարժ․ 300

ա) cos α=1/2

sin²α+cos²α=1

sin²α=1-1/4=3/4

sin α=√3/2

Պատ՝․ √3/2

բ) cos α= -3/5

sin² α=25-9/25=16/25

sin α=4/5

Պատ՝․ 4/5

գ) cos α= -1

sin²α=1-1=0

sin α=0

Պատ՝․ 0

Վարժ․ 301

ա) sin α=√3/2

cos²α=1-3/4=1/4

cos α= ±1/2

բ) sin α=1/4

cos²α=1-1/16=15/16

cos α= ±√15/4

գ) sin α=0

cos²α=1-0=1

cos α= ±1

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 302

Վարժ․ 302

ա) tg α=?

cos α=1

sin α=0

tg α=0/1=0

Պատ՝․ 0

բ) cos α= -√3/2

sin²α=1-3/4=1/4

sin α= ±1/2

tg α=1/2: (-√3/2)=1/2 * (-2/√3)= -1/√3 * √3= -√3/3

Պատ՝ -√3/3

գ) sin α=√2/2

0⁰<α<90⁰

cos²α=1-2/4=2/4

cos α= ±√2/2

tg α=√2/2 : √2/2=√2/2 * 2/√2=1

Պատ՝․ 1

դ) sin α=3/5

90⁰<α<180⁰

cos²α=1-9/25=16/25

cos α= ±4/5

tg α=3/5 : (-4/5)=3/5 * (-5/4)= -3/4

Պատ՝․ -3/4

Վարժ․ 212

Լուծում՝

AB/AC=AC/AD

AC²=AB*AD

AB/CB=CB/DB

CB²=AB*DB

{ AC²=AB*AD

{ CB²=AB*DB => AC²/CB²=AD/DB=> 9/16=50-x/x=>

9x=800-16x=> 25x=800=> x=32

DB=x=32

AD=AB-DB=50-x=50-32=18

Պատ՝․ DB=32 մմ; AD=18 մմ

Վարժ․ 213

Լուծում՝

AB/AC=AC/AD

AC²=AB*AD

AB/CB=CB/DB

CB²=AB*DB

{ AC²=AB*AD

{ CB²=AB*DB => AC²/CB²=AD/DB=> 25/36=x/x+11=>

36x=25x+275=> 11x=275=> x=25

AD=x=25 սմ

DB=x+11=25+11=36 սմ

AB=AD+DB=25 սմ + 36 սմ=61 սմ

Պատ՝․ AB=61 սմ